题目内容
先完成填空，再按要求答题：（1）计算：（只要求填写最后结果）sin230°+cos230°=
（2）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
（3）已知0°＜∠A＜90°且sinA•cosA=
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| 25 |
考点：解直角三角形,勾股定理,特殊角的三角函数值
专题：
分析：（1）将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值；由前面的结论，即可猜想出：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1；
（2）过点B作BH⊥AC于H，则∠AHB=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=
，cosA=
，则sin2A+cos2A=
，再根据勾股定理得到BH2+AH2=AB2，从而证明sin2A+cos2A=1；
（2）利用关系式sin2A+cos2A=1，结合已知条件0°＜∠A＜90°且sinA•cosA=
，进行求解．
（2）过点B作BH⊥AC于H，则∠AHB=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=
| BH |
| AB |
| AH |
| AB |
| BH2+AH2 |
| AB2 |
（2）利用关系式sin2A+cos2A=1，结合已知条件0°＜∠A＜90°且sinA•cosA=
| 12 |
| 25 |
解答：解：（1）sin230°+cos230°=1；
sin245°+cos245°=1；
sin260°+cos260°=1；…
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1．
（2）如下图，过点B作BH⊥BC于点H，BH2+AH2=AB2，
则sinA=
，
cosA=
，
所以sin2A+cos2A=
+
=
=1；
（3）∵sin2A+cos2A=1，sinA•cosA=
，
∴（sinA+cosA）2-2sinA•cosA=1
∴sinA+cosA=
，
故答案为：1；1；1；1．
sin245°+cos245°=1；
sin260°+cos260°=1；…
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1．
（2）如下图，过点B作BH⊥BC于点H，BH2+AH2=AB2，则sinA=
| BH |
| AB |
cosA=
| AH |
| AB |
所以sin2A+cos2A=
| BH2 |
| AB2 |
| AH2 |
| AB2 |
| BH2+AH2 |
| AB2 |
（3）∵sin2A+cos2A=1，sinA•cosA=
| 12 |
| 25 |
∴（sinA+cosA）2-2sinA•cosA=1
∴sinA+cosA=
| 7 |
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故答案为：1；1；1；1．
点评：本题考查了解直角三角形，同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单．
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| ||
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