Question

如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB=60°，连接AO，BO．
（1）

AB

所对的圆心角∠AOB=

 

；
（2）求证：PA=PB；
（3）若OA=3，求阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：几何综合题

分析：（1）根据切线的性质可以证得∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和定理求解；
（2）证明直角△OAP≌直角△OBP，根据全等三角形的对应边相等，即可证得；
（3）首先求得△OPA的面积，即求得四边形OAPB的面积，然后求得扇形OAB的面积，即可求得阴影部分的面积．

解答：（1）解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°；

（2）证明：连接OP．
在Rt△OAP和Rt△OBP中，

OA=OB OP=OP

，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP，
∴PA=PB；

（3）解：∵Rt△OAP≌Rt△OBP，
∴∠OPA=∠OPB=

1

2

∠APB=30°，
在Rt△OAP中，OA=3，
∴AP=3

3

，
∴S_△OPA=

1

2

×3×3

3

=

9 3

2

，
∴S_阴影=2×

9 3

2

-

120π×32

360

=9

3

-3π．

点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．