题目内容
5．观察下列等式：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$
将以上三个等式两边分别相加得：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$
（1）猜想并写出：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
（2）分式方程$\frac{1}{x-2}$+$\frac{1}{（x-2）（x-3）}$+$\frac{1}{（x-3）（x-4）}$=1的解是x=5．
分析 （1）根据已知等式得出拆项法，写出即可；
（2）方程利用拆项法变形后，求出解即可．
解答 解：（1）$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）已知方程整理得：$\frac{1}{x-2}$+$\frac{1}{x-3}$-$\frac{1}{x-2}$+$\frac{1}{x-4}$-$\frac{1}{x-3}$=1，即$\frac{1}{x-4}$=1，
去分母得：1=x-4，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故答案为：（1）$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；（2）x=5
点评 此题考查了解分式方程，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
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