Question

1．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的纵坐标为2$\sqrt{3}$，∠B=60°，OC=$\frac{1}{2}$AC，点P是斜边DB上的一个动点，则△PAC的周长的最小值为2$\sqrt{7}$+4．
【说明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．】

Answer 1

分析 作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案．

解答 解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，
∵DP=PA，
∴PA+PC=PD+PC=CD，
∵顶点B的纵坐标为2$\sqrt{3}$，∠B=60°，
∴AB=2$\sqrt{3}$，OA=6，由勾股定理得：OB=4$\sqrt{3}$，
由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}$×OA×AB=$\frac{1}{2}$×OB×AM，
∴AM=3，
∴AD=2×3=6，
∵∠AMB=90°，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵∠BAO=90°，
∴∠OAM=60°，
∵DN⊥OA，
∴∠NDA=30°，
∴AN=$\frac{1}{2}$AD=3，由勾股定理得：DN=3$\sqrt{3}$，
∵C（1，0），
∴CN=AC-AN=4-3=1，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC=$\sqrt{{1}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
即PA+PC的最小值是2$\sqrt{7}$，
∴△PAC周长的最小值为：2$\sqrt{7}$+4．
故答案为：2$\sqrt{7}$+4．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的内角和定理，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．