Question

8．设a，b都是奇数，且关于x的方程x²+（4a-3b）x+4a²+b²+9=0的两个根都是质数，求这个方程的两个根．

Answer 1

分析 利用奇数与偶数得性质可判断4a²+b²+9为偶数，再利用根与系数的关系得到两质数的积为4a²+b²+9，所以可判断方程必有一个根为2，再把x=2代入方程得变形得到变形得4（a+1）²+（b-3）²=0，利用非负数的性质可解得a=-1，b=3，所以方程化为x²-13x+22=0，然后利用因式分解法解方程即可．

解答 解：∵a，b都是奇数，
∴4a²+b²+9为偶数，
∵方程的两根之积为4a²+b²+9，
而方程的两个根都是质数，
∴方程必有一个根为2，
把x=2代入方程得4+2（4a-3b）+4a²+b²+9=0，
变形得4（a+1）²+（b-3）²=0，
∴a+1=0，b-3=0，解得a=-1，b=3，
∴方程化为x²-13x+22=0，解得x₁=2，x₂=11，
即这个方程的两个根为2和11．

点评 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了奇数、质数和根与系数的关系．