Question

如图，梯形ABCD中，F是CD的中点，AF⊥AB，E是BC边上是一点，且AF平分∠DAE．若EF=5，则AB=

 

．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,全等三角形的判定与性质,梯形

专题：

分析：延长AF与BC的延长线相交于点G，利用“角角边”证明△ADF和△GCF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=GF，根据角平分线的定义和平行线的性质求出∠EAF=∠EGF，再根据等角对等边可得AE=GE，然后根据等腰三角形三线合一的性质判断出EF⊥AF，从而得到EF是△ABG的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB=2EF．

解答：解：如图，延长AF与BC的延长线相交于点G，
∵F是CD的中点，
∴CF=DF，
∵梯形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠G，
在△ADF和△GCF中，

∠DAF=∠G ∠AFD=∠GFC CF=DF

，
∴△ADF≌△GCF（AAS），
∴AF=GF，
∵AF平分∠DAE，
∴∠EAF=∠DAF，
∴∠EAF=∠G，
∴AE=GE，
∴EF⊥AF，
又∵F是CD的中点，AF⊥AB，
∴EF是△ABG的中位线，
∴AB=2EF=2×5=10．
故答案为：10．

点评：本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作出辅助线构造成以EF为中位线的三角形是解题的关键．