Question

已知：（如图）边长为1的正方形ABCD内接于⊙O，点L为劣弧CD（不含端点）上任意一点．直线AL交线段CD于点K，直线CL交直线AD于点M，直线MK交线段BC于点N，线段LB交线段KN于点P．
（1）求证：MN=

2

；
（2）求证：B，M，L，N四点共圆；
（3）求证：KP=NP．

Answer 1

考点：圆的综合题,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质,圆周角定理,圆内接四边形的性质

专题：证明题

分析：（1）如图1，易证△MDC≌△KDA，则有MD=KD，从而有∠DMK=∠DKM=∠CKN=45°．从而有MK=

2

DK，NK=

2

CK，就可证到MN=

2

DC=

2

．
（2）连接BD，如图2，根据圆周角定理可得∠CLB=∠CDB=45°，从而可得∠PNB=∠MLP=135°，就可得到B、N、L、M四点共圆．
（3）连接CP，如图3，由∠CLP=∠CKP=45°可得P、C、L、K四点共圆，则有∠CPN=∠CLK=90°，即CP⊥KN．由∠CNK=45°=∠CKN得CK=CN，根据等腰三角形的性质可得PK=PN．

解答：证明：（1）如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，DC=DA．
∴∠MDC=90°．
在△MDC和△KDA中，

∠DCM=∠DAK DC=DA ∠CDM=∠ADK

．
∴△MDC≌△KDA．
∴MD=KD．
∴∠DMK=∠DKM=45°．
∴∠CKN=∠DKM=45°．
∴MK=

2

DK，NK=

2

CK．
∴MN=MK+NK=

2

DK+

2

CK=

2

DC=

2

．

（2）连接BD，如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC=45°．
∴∠CLB=∠CDB=45°．
∴∠MLP=135°．
∵∠PNB=∠KCN+∠CKN=135°，
∴∠PNB=∠MLP．
∴B、N、L、M四点共圆．

（3）连接CP，如图3，
∵∠CLP=∠CKP=45°，
∴P、C、L、K四点共圆．
∴∠CPN=∠CLK=90°．
∴CP⊥KN．
∵∠CNK=90°-45°=45°=∠CKN，
∴CK=CN．
∵CK=CN，CP⊥KN，
∴PK=PN．

点评：本题考查了圆周角定理、四点共圆的判定、圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，有一定的综合性，而运用圆内接四边形的性质是解决第（3）小题的关键．