Question

已知：如图，在直角坐标系xOy中，点A（2，0），点B在第一象限且△OAB为正三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）求直线CD的函数解析式；
（3）设E、F分别是线段AB、AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长．若F是OD中点，求BE的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）连接AC，作BH⊥OA于H，如图，根据等边三角形的性质得到OA=AB=OB=2，∠ABO=60°，∠OBH=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△OBH中计算出OH=

1

2

OB=1，BH=

3

OH=

3

，；在Rt△OAC中计算出OC=

3

3

OA=

2 3

3

，然后写出B点和C点坐标；
（2）由于∠AOC=90°，根据圆周角定理的推论得AC为△OAB的外接圆⊙O′的直径，再根据切线的性质由CD与⊙O′相切得∠ACD=90°，则∠OCD=30°，
在Rt△OCD中，可计算出OD=

3

3

OC=

2

3

，得到D点坐标为（-

2

3

，0），然后利用待定系数法求直线DC的解析式；
（3）根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△OCD中计算出CD=2OD=

4

3

，由于∠OAC=∠BAC=30°，则BC=OC=

2 3

3

，而FD=OF=

1

3

，所以当EF平分四边形ABCD的周长时有DF+CD+BC+BE=AE+AO+OF，而AE=AB-BE=2-BE，即有

1

3

+

4

3

+

2 3

3

+BE=2-BE+2+

1

3

，然后解方程即可得到BE的长．

解答：解：（1）连接AC，作BH⊥OA于H，如图，
∵△OAB为正三角形，点A（2，0），
∴OA=AB=OB=2，∠ABO=60°，
∴∠OBH=30°，
在Rt△OBH中，OH=

1

2

OB=1，
BH=

3

OH=

3

，
∴B点坐标为（1，

3

）；
∵∠ACO=∠ABO=60°，
∴∠OAC=30°，
在Rt△OAC中，OC=

3

3

OA=

2 3

3

，
∴C点坐标为（0，

2 3

3

）；
（2）∵∠AOC=90°，
∴AC为△OAB的外接圆⊙O′的直径，
∵CD与⊙O′相切，
∴AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∴∠OCD=30°，
在Rt△OCD中，OD=

3

3

OC=

3

3

×

2 3

3

=

2

3

，
∴D点坐标为（-

2

3

，0），
设直线DC的解析式为y=kx+b，
把C（0，

2 3

3

）、D（-

2

3

，0）代入得

b= 2 3 3 - 2 3 k+b=0

，解得

k= 3 b= 2 3 3

，
∴直线CD的解析式为y=

3

x+

2 3

3

；
（3）在Rt△OCD中，OD=

2

3

，
∴CD=2OD=

4

3

，
∵∠OAC=30°，∠OAB=60°，
∴∠OAC=∠BAC，
∴BC=OC=

2 3

3

，
∵F点OD的中点，
∴FD=OF=

1

3

，
∵EF平分四边形ABCD的周长，
∴DF+CD+BC+BE=AE+AO+OF，
而AE=AB-BE=2-BE，
∴

1

3

+

4

3

+

2 3

3

+BE=2-BE+2+

1

3

，
∴BE=

4- 3

3

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握等边三角形的性质、圆周角定理和切线的性质；会利用待定系数法求一次函数解析式；会利用含30度的直角三角形三边的关系进行几何计算．