Question

10．如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是抛物线在第四象限上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，交BC于点F
（1）用含m的代数式表示线段PF的长度，并求出其最大值；
（2）若EF：FP=2：3，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的解析式结合二次函数图象上点的坐标特征得出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，根据点P的横坐标，找出点P、F的坐标，由此即可得出PF关于m的函数关系式，利用配方法即可得出最值；
（2）根据P、F的坐标即可得出EF、PF的长度，结合EF：FP=2：3即可得出m的值，将其代入点P的坐标中即可得出结论．

解答 解：（1）当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3）；
当y=0时，有x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3=b}\\{0=3k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=x-3．
∵点P的横坐标为m，
∴P（m，m²-2m-3）．
当x=m时，y=m-3（0＜m＜3），
∴F（m，m-3）．
∴PF=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m．
∵PF=-m²+3m=-$（m-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{9}{4}$，-1＜0，
∴PF=-m²+3m（0＜m＜3），当m=$\frac{3}{2}$时，PF取最大值$\frac{9}{4}$．
（2）∵F（m，m-3），FE⊥x轴，
∴EF=-（m-3）=3-m，
∵$\frac{EF}{FP}=\frac{3-m}{3m-{m}^{2}}$=$\frac{1}{m}$=$\frac{2}{3}$，
∴m=$\frac{3}{2}$，
此时点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出点P、F的坐标；（2）根据EF：FP=2：3求出m的值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数图象上点的坐标特征找出点的坐标是关键．