Question

20．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B沿BC向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止．
（1）问几秒后，△PBQ为等腰三角形？
（2）问几秒后，△PDQ的面积等于矩形ABCD的面积的$\frac{5}{8}$？
（3）△PDQ的面积能不能等于26cm²？如果不能，请你求出△PDQ的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）由运动先表示出PB，BQ，根据题意得出PB=BQ．建立方程求解即可；
（2）由运动先表示出AP，BP，BQ，CQ，再用面积的和差求出S_△PDQ=t²-6t+36，再根据面积关系建立方程求解即可；
（3）先假设能等于26，建立方程，此时方程无解，即不能等于26，将（2）的函数关系式配方即可求出最小值．

解答 解：（1）在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，
∴∠ABC=90°，
设运动时间为t秒，
∴AP=t，BQ=2t，
∴PB=6-t，
∵△PBQ为等腰三角形，
∴PB=BQ，
∴6-t=2t，
∴t=2，
即：t=2秒时，△PBQ为等腰三角形；
（2）设运动时间为t，（0＜t＜6）则AP=t，BQ=2t，
∴BP=6-t，CQ=12-2t，
∴S_△PDQ=S_矩形ABCD-（S_△ADP+S_△BPQ+S_△CDQ）
=AB×BC-（$\frac{1}{2}$AP×AD+$\frac{1}{2}$BP×BQ+$\frac{1}{2}$CQ×CD）
=AB×BC-$\frac{1}{2}$（AP×AD+BP×BQ+CQ×CD）
=6×12-$\frac{1}{2}$[t×12+（6-t）×2t+（12-2t）×6]
=t²-6t+36
∵△PDQ的面积等于矩形ABCD的面积的$\frac{5}{8}$，
∴t²-6t+36=$\frac{5}{8}$×6×12，
∴t=3-3$\sqrt{2}$或t=3+3$\sqrt{2}$（舍），
即：t=3-3$\sqrt{2}$，△PDQ的面积等于矩形ABCD的面积的$\frac{5}{8}$；
（3）假设△PDQ的面积能等于26cm²
由（2）知，S_△PDQ=t²-6t+36，
∴t²-6t+36=26，
∴t²-6t+10=0，
∵△=36-40＜0，
∴此方程无解，
即：△PDQ的面积不能等于26cm²，
∵S_△PDQ=t²-6t+36=（t-3）²+27，
∴当t=3时，S_△PDQ最小=27cm²．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，解本题的关键是用运动时间表示出AP，BP，BQ，CQ．