Question

1．已知：AB、CD为⊙O的直径，弦BE交CD于点F，连接DE交AB于点G，GO=GD．
（1）如图1，求证：DE=DF；
（2）如图2，作弦AK∥DC，AK交BE于点N，连接CK，求证：四边形KNFC为平行四边形；
（3）如图3，作弦CH，连接DH，∠CDH=3∠EDH，CH=2$\sqrt{11}$，BE=4$\sqrt{7}$，求DH的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接BC．欲证明DE=DF，只要证明∠E=∠EFD．
（2）如图2中，连接AD、DK、BC．首先证明∠ADC=∠KCD，再证明∠EFD=∠ADC，即可推出∠EFD=∠KCD，推出KC∥FN，由此即可解决问题．
（3）如图3中，作ON⊥BE于N，HK⊥CD于K，连接EO．想办法证明△OHK≌△OBN，推出HK=BN=2$\sqrt{7}$，再证明△CKH∽△CHD，得$\frac{CK}{CH}$=$\frac{HK}{DH}$，利用勾股定理求出KC即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接BC．

∵OB=OC，
∴∠C=∠OBC=∠E，
∵GO=GD，
∴∠D=∠GOD=∠EBC=∠BOC，
∵∠OBC=∠EBC+∠EBA，∠EFD=∠BOC+∠EBA，
∵∠EBC=∠BOC，
∴∠OBC=∠EFD=∠E，
∴DE=DF．

（2）证明：如图2中，连接AD、DK、BC．

∵AK∥CD，
∴∠AKD=∠KDC，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{KC}$，
∴$\widehat{DK}$=$\widehat{AC}$，
∴∠ADC=∠KCD，
∵∠ADO=∠OBC=∠OCB=∠E=∠EFD，
∴∠KCD=∠EFD，
∴KC∥FN，∵KN∥FC，
∴四边形KNFC是平行四边形．

（3）解：如图3中，作ON⊥BE于N，HK⊥CD于K，连接EO．

∵ON⊥EB，
∴EN=BN=2$\sqrt{7}$，
∵∠CDH=3∠EDH，
设∠EDH=x，则∠CDH=3x，∠OHD=∠ODH=3x，∠HOC=∠D+∠OHD=6x，∠GOD=∠GDO=∠BOC=4x，∠HOB=∠HOC+∠BOC=10x，∠EOC=∠ODE+∠OED=8x，∠EOB=∠EOC+∠BOC=12x，
∵∠BON=∠EON=6x，
∴∠HOK=∠BON=6x，
在△OHK和△OBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HOK=∠BON}\\{∠KHO=∠ONB}\\{OH=OB}\end{array}\right.$，
∴△OHK≌△OBN，
∴HK=BN=2$\sqrt{7}$，
在Rt△CHK中，CK=$\sqrt{H{C}^{2}-H{K}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{11}）^{2}-（2\sqrt{7}）^{2}}$=4，
∵CD是直径，
∴∠CHD=∠CKH=90°，
∵∠C=∠C，
∴△CKH∽△CHD，
∴$\frac{CK}{CH}$=$\frac{HK}{DH}$，
∴DH=$\frac{CH•HK}{CK}$=$\frac{2\sqrt{11}×2\sqrt{7}}{4}$=$\sqrt{77}$．

点评 本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明△OHK≌△OBN，属于中考压轴题．