题目内容
6．
如图，∠BOC=90°，点A在∠BOC的内部，OA=2，∠AOC=30°，点P，Q分别从点O，A同时出发，均以每秒1个单位长度的速度沿OA方向运动．过点P作直线l⊥OA于P，过点Q作QM⊥OB于点M，QN⊥OC于点N，设点P运动时间为t（s）（1）用含t的代数式表示线段OQ和线段PQ的长；
（2）分别求出点M和点N落在直线1上时t的值；
（3）在运动过程中，设直线l扫过矩形QMON的面积为S，求S与t的函数关系式；
（4）设直线l与矩形QMON的边交于点E，F连结AE，AF，当t为何值时，直线AE和直线AF这两条直线的一条与矩形QMON的边垂直（请直接写出t的值）．
分析 （1）由题意OQ=OA+AQ=2+t，PO=t，即可推出PQ=OQ-OP=（2+t）-t=2．
（2）①如图1中，当点N与点F重合时，在Rt△PQN中，由∠PQN=30°，PQ=2，推出PN=PQ•tan30°=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，在Rt△OPN中，OP=PN•tan30°=$\frac{2}{3}$，由此即可求出t的值．
②如图2中，当点M与点E重合时．在Rt△PQM中，由∠PMQ=30°，PQ=2，推出PM=$\frac{PQ}{tan30°}$=2$\sqrt{3}$，在Rt△OPM中，OP=$\frac{PM}{tan30°}$=6，由此即求出t的值．
（3）分三种情形讨论①如图3中，当0＜t≤$\frac{2}{3}$时，直线l扫过矩形QMON的图形是△OMN．②如图4中，$\frac{2}{3}$＜t≤6时，直线l扫过矩形QMON的图形是四边形MOFK．③如图5中，当t＞6时，直线l扫过矩形QMON的图形是五边形EOFKG．分别求解即可．
（4）分两种情形①如图6中，当AF⊥ON时．②如图7中，当AE⊥OM时，分别求出OP的长即可解决问题．
解答 解：（1）由题意OQ=OA+AQ=2+t，PO=t，
∴PQ=OQ-OP=（2+t）-t=2．
∴OQ=2+t，PQ=2．
（2）①如图1中，当点N与点F重合时．
在Rt△PQN中，∵∠PQN=30°，PQ=2，
∴PN=PQ•tan30°=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
在Rt△OPN中，OP=PN•tan30°=$\frac{2}{3}$，此时t=$\frac{2}{3}$s．
②如图2中，当点M与点E重合时．
在Rt△PQM中，∵∠PMQ=30°，PQ=2，
∴PM=$\frac{PQ}{tan30°}$=2$\sqrt{3}$，
在Rt△OPM中，OP=$\frac{PM}{tan30°}$=6，
此时t=6s．
（3）①如图3中，当0＜t≤$\frac{2}{3}$时，直线l扫过矩形QMON的图形是△OMN，易知ON=2t，OM=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$•ON•OM=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$t2．
②如图4中，$\frac{2}{3}$＜t≤6时，直线l扫过矩形QMON的图形是四边形MOFK，
S=S△OMN-S△FKN=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$t2-$\frac{1}{2}$•（2t-$\frac{t+2}{2}$）•$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2t-$\frac{t+2}{2}$）=$\frac{7\sqrt{3}}{24}$t2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
③如图5中，当t＞6时，直线l扫过矩形QMON的图形是五边形EOFKG．
S=S△OMN-S△KFN-S△EGM=$\frac{7\sqrt{3}}{24}$t2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{\sqrt{3}}{6}$-$\frac{1}{2}$•[$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t-（t+2）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$]•$\sqrt{3}$•[$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t-（t+2）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$]=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t2+$\sqrt{3}$t-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2\sqrt{3}}{3}{t}^{2}}&{（0＜t≤\frac{2}{3}）}\\{\frac{7\sqrt{3}}{24}{t}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t-\frac{\sqrt{3}}{6}}&{（\frac{2}{3}＜t≤6）}\\{\frac{\sqrt{3}}{4}{t}^{2}+\sqrt{3}t-\frac{5\sqrt{3}}{3}}&{（t＞6）}\end{array}\right.$
（4）①如图6中，当AF⊥ON时，
在Rt△OAF中，OF=OA•cos60°=1，
在Rt△OPF中，OP=$\frac{1}{2}$OF=$\frac{1}{2}$，此时t=$\frac{1}{2}$s．
②如图7中，当AE⊥OM时，
在Rt△AEO中，OE=OA•cos30°=$\sqrt{3}$，
在Rt△OPE中，OP=OE•cos30°=$\frac{3}{2}$，
综上所述，当t为$\frac{1}{2}$s或$\frac{3}{2}$s时，直线AE和直线AF这两条直线的一条与矩形QMON的边垂直．
点评 本题考查四边形综合题、矩形的性质、锐角三角函数、三角形的面积以及路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用分割法求多边形的面积，属于中考压轴题．
已知，如图，等腰直角△ABC与等腰直角△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连结AF，M时AF的中点，连结MB，且点C，B，E在同一直线上．求证：BM∥CF．
| A． | 2 | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | -2 | D． | -$\frac{1}{2}$ |
如图，己知线段AB及点C，在方格纸上画图并回答问题．