Question

8．如图，抛物线y=ax²+2ax+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）AB=4，与y轴交于点C，OC=OA，点D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM，如图1，点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，求m的值，并求出此时的△AEM的面积；
（3）已知H（0，-1），点G在抛物线上，连HG，直线HG⊥CF，垂足为F，若BF=BC，求点G的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=ax²+2ax+c，可得C（0，c），对称轴为x-1，再根据OC=OA，AB=4，可得A（-3，0），最后代入抛物线y=ax²+2ax+3，得抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；
（2）根据点M（m，0），可得矩形PQNM中，P（m，-m²-2m+3），Q（-2-m，-m²-2m+3），再根据矩形PQNM的周长=2（PM+PQ）=-2（m+2）²+10，可得当m=-2时，矩形PQNM的周长有最大值10，M的坐标为（-2，0），最后由直线AC为y=x+3，AM=1，求得E（-2，1），ME=1，据此求得△AEM的面积；
（3）连接CB并延长，交直线HG与Q，根据已知条件证明BC=BF=BQ，再根据C（0，3），B（1，0），得出Q（2，-3），根据H（0，-1），求得QH的解析式为y=-x-1，最后解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，可得点G的坐标．

解答 解：（1）由抛物线y=ax²+2ax+c，可得C（0，c），对称轴为x=-$\frac{2a}{2a}$=-1，
∵OC=OA，
∴A（-c，0），B（-2+c，0），
∵AB=4，
∴-2+c-（-c）=4，
∴c=3，
∴A（-3，0），
代入抛物线y=ax²+2ax+3，得
0=9a-6a+3，
解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；

（2）如图1，∵M（m，0），PM⊥x轴，
∴P（m，-m²-2m+3），
又∵对称轴为x=-1，PQ∥AB，
∴Q（-2-m，-m²-2m+3），
又∵QN⊥x轴，
∴矩形PQNM的周长
=2（PM+PQ）
=2[（-m²-2m+3）+（-2-m-m）]
=2（-m²-4m+1）
=-2（m+2）²+10，
∴当m=-2时，矩形PQNM的周长有最大值10，
此时，M（-2，0），
由A（-3，0），C（0，3），可得
直线AC为y=x+3，AM=1，
∴当x=-2时，y=1，即E（-2，1），ME=1，
∴△AEM的面积=$\frac{1}{2}$×AM×ME=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$；

（3）如图2，连接CB并延长，交直线HG与Q，
∵HG⊥CF，BC=BF，
∴∠BFC+∠BFQ=∠BCF+∠Q=90°，∠BFC=∠BCF，
∴∠BFQ=∠Q，
∴BC=BF=BQ，
又∵C（0，3），B（1，0），
∴Q（2，-3），
又∵H（0，-1），
∴QH的解析式为y=-x-1，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，可得
$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{17}-1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴点G的坐标为（$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$）或（$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$）．

点评 本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数与直线交点的求法、矩形的性质、一元二次方程的解法、二次函数最值的求法．在求周长的最值时，要转化为二次函数最值问题进行解答，灵活运用二次函数的对称性，运用数形结合、方程思想是解答本题的关键．