Question

13．如图1．己知AB∥CD，BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC．
（1）∠BPD=90°；
（2）如图②，将BD改为折线BED，BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC，其余条件不变，若∠BED=120°，求∠BPD的度数：并进一步猜想∠BPD与∠BED之间的数量关系；
（3）如图3，若∠BMN=132°，∠MND=144°，BP、DP分别平分∠ABM、∠CDN，那么∠BPD=48°．

Answer 1

分析 （1）先根据平行线的性质得出∠ABD+∠BDC=∠180°，再根据角平分线的定义得出∠PBD+∠PDB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）连接BD，先求出∠EBD+∠EDB的度数，再由平行线的性质得出∠ABD+∠CDB的度数，由角平分线的性质得出∠PBE+∠PDE的度数，根据∠BPD=180°-∠PBE-PDE-∠EBD-∠EDB即可得出结论．
（3）连接BD，先求出∠MBD+∠NDB的度数，再求出∠PBM+∠PDN的度数，再利用三角形内角和定理即可解决．

解答 解：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC=∠180°，
∵BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC，
∴∠PBD+∠PDB=90°，
∴∠BPD=180°-90°=90°．
故答案为：90；
（2）连接BD，
∵∠BED=120°，
∴∠EBD+∠EDB=60°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∵BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC，
∴∠PBE=$\frac{1}{2}$∠ABE，∠PDE=$\frac{1}{2}$∠CDE，
∴∠PBE+∠PDE=$\frac{1}{2}$（180°-60°）=60°，
∴∠BPD=180°-∠PBE-PDE-∠EBD-∠EDB=60°．
猜想：∠BPD=$\frac{1}{2}$∠BED．
（3）连接BD，
∵∠BMN=132°，∠MND=144°，
∴∠MBD+∠NDB=360°-（132°+144°）=84°，
∵BP、DP分别平分∠ABM、∠NDC，
∴∠PBM=$\frac{1}{2}$∠ABM，∠PDN=$\frac{1}{2}$∠CDN，
∴∠PBM+∠PDN=$\frac{1}{2}$（180°-84°）=48°，
∴∠BPD=180°-（∠MBD+∠NDB）-（∠PBM+∠PDN）=48°．
故答案为48°．

点评 本题考查的是平行线的性质，角平分线的性质，三角形、四边形内角和定理，解题的关键是这些知识的灵活应用，学会添加辅助线，把问题转化为三角形或四边形，属于中考常考题型．