Question

8．方程（x²-x+1）²-x²+x-3=0的实根为x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 令t=x²-x+1，将原方程转化为关于t的一元二次方程求出t的值，就t的不同值分别列出对应的关于x的方程求解即可．

解答 解：令t=x²-x+1，则原方程可化为：t²-（t+2）=0，即t²-t-2=0，
左边因式分解得：（t+1）（t-2）=0，
∴t₁=-1，t₂=2，
当t=-1时，x²-x+1=-1，即x²-x+2=0，
∵△=（-1）²-4×1×2=-7，
∴方程无解；
当t=2时，x²-x+1=2，即x²-x-1=0，
解得：x=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$；
则方程的根为：x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
故答案为：x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了用换元法解方程，解题关键是能准确的找出可用替换的代数式x²-x+1，再用字母t代替解方程．