Question

4．已知：如图，P为等边三角形ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，然后解直角三角形求得等边三角形的边长，即可得到结论．

解答 解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，
连接EP，过A作AD⊥BP交BP的延长线于D，如图，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE²=PE²+PA²，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°，
∴∠APD=30°，
在Rt△APD中，AD=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{3}{2}$，PD=AP•cos30°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
则BD=PB+PD=4+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²=25+12$\sqrt{3}$，
过A作AF⊥BC于F，则AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AF=$\frac{1}{2}$AB•$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²=9+$\frac{25\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是勾股定理的应用和证明∠APE=90°．