Question

2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于点D，AE是⊙O的直径，若S_△ABC=S，⊙O的半径为R．求证：
（1）AB•AC=AD•AE；
（2）AB•AC•BC=4RS．

Answer 1

分析 （1）首先连接BE，由AD是⊙O的内接△ABC的高，AE是⊙O的直径，可得∠ABE=∠ADC=90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，可得∠E=∠C，即可证得△ABE∽△ADC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AB•AC=AD•AE；
（2）由于S_△ABC=S=$\frac{1}{2}$BC•AD，推出BC=$\frac{2S}{AD}$，根据AE=2R，AB•AC=AD•AE，代入AB•AC•BC，即可得到结论．

解答 证明：（1）连接BE，
∵AD是⊙O的内接△ABC的高，AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=∠ADC=90°，
∵∠E=∠C，
∴△ABE∽△ADC，
∴AB：AD=AE：AC，
∴AB•AC=AD•AE；

（2）∵S_△ABC=S=$\frac{1}{2}$BC•AD，
∴BC=$\frac{2S}{AD}$，
∵AE=2R，AB•AC=AD•AE，
∴AB•AC•BC=AD•AE•BC=AD•2R•$\frac{2S}{AD}$=4RS．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理，三角形面积公式，连接BE构造直角三角形是解题的关键．