题目内容
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，延长BC至D使得BD=2BC，设P为线段AB上一动点（异于点A、B），连结PD交直线AC于M点，过P、M、B三点做⊙O交直线AC于另一点N．（1）求证：BN=PN；
（2）设⊙O的半径为R，给出下列两个结论：①MN的长度不变；②$\frac{MN}{R}$的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值．
分析 （1）如图1中，连接BM．先证明∠2=∠3，再证明∠1=∠2，∠NBP=∠3即可解决问题．
（2）②的值不变．作O1K⊥MN于K，连接O1N、PN、BM，由垂径定理得，MN=2NK，且∠N O1K=∠1，由正弦的概念得，$\frac{MN}{R}$=$\frac{2NK}{R}$=2sin∠NO1K=2sin∠1，想办法证明∠1=∠4=∠NO1K，由$\frac{MN}{R}$=2sin∠4=2×$\frac{BC}{AB}$，即可解决问题．
解答 （1）证明：如图1中，连接BM．
∵BD=2BC，
∴BC=CD，
∵MC⊥BD，
∴MB=MD，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，∠3+∠PMN=180°，∠PMN+∠NBP=180°，
∴∠3=∠NBP，
∴∠1=∠NBP，
∴NB=NP．
（2）解：②的值不变
证明：如图2中，作O1K⊥MN于K，连接O1N、PN、BM，
则MN=2NK，且∠N O1K=∠1，
∴$\frac{MN}{R}$=$\frac{2NK}{{O}_{1}K}$=2sin∠NO1K=2sin∠1
∵CB=CD=4，CM⊥BD，
∴MB=MD，
∴∠2=∠3．
又∠2=∠4+∠5，∠3=∠1+∠6，
∵∠5=∠6，
∴∠1=∠4=∠NO1K，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴$\frac{MN}{R}$=2sin∠4=2×$\frac{BC}{AB}$=$\frac{8}{5}$．
所以，$\frac{MN}{R}$的值不变，其值为 $\frac{8}{5}$．
点评 本题利用了垂径定理，直角三角形的性质，线段垂直平分线性质，锐角三角函数，勾股定理圆周角定理，三角形的外角与内角的关系等知识，综合性强，涉及多个知识点，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
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