Question

6．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，BE⊥CD，垂足为E，连接AC、BC．
（1）求证：BC平分∠ABE；
（2）若∠A=60°OA=4，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得OC⊥DE，则可判断OC∥BE，根据平行线的性质得∠OCB=∠CBE，加上∠OCB=∠CBO，所以∠OBC=∠CBE，
（2）利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据正弦的定义可计算出BC=4$\sqrt{3}$，然后在Rt△CBE中可得到CE=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{3}$．

解答 （1）证明：∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
而BE⊥DE，
∴OC∥BE，
∴∠OCB=∠CBE，
而OB=OC，
∴∠OCB=∠CBO，
∴∠OBC=∠CBE，
即BC平分∠ABE；

（2）解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵sinA=$\frac{BC}{AB}$，
∴BC=8sin60°=4$\sqrt{3}$，
∵∠OBC=∠CBE=30°，
在Rt△CBE中，CE=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了解直角三角形．