Question

16．已知E为正△ABC内任意一点．求证：以AE、BE、CE为边可以构成一个三角形．若∠BEC=113°，∠AEC=123°，求构成三角形的各角度数．

Answer 1

分析 ①通过旋转作辅助三角形ADC，由旋转的性质得：BE=DC，AE=AD，∠EAD=∠BAC=60，可得等边三角形AED，由此可得△CDE即所构三角形；
②先根据周角的定义求∠AEB的度数，再由全等得：∠ADC=∠AEB=124°，利用等边三角形每个角都是60°分别计算所构成的三角形各角的度数即可．

解答 证明：①∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA；∠ACB=60°，
∴将△BEC绕点C逆时针旋转60°，至△ACD，BC与AC重合，连接ED，
∴△ADC≌△AEB，
∴AD=AE，BE=CD，∠EAD=60°，
∴△AED是等边三角形，
∴ED=AE，
∴以AE、BE、CE为边可以构成一个三角形，△CDE即所构三角形；
②∵∠BEC=113°，∠AEC=123°，
∴∠AEB=360°-113°-123°=360°-236°=124°，
由△ADC≌△AEB得：∠ADC=AEB=124°，
∴∠EDC=124°-60°=64°，
∠DEC=123°-60°=63°，
∴∠ECD=180°-64°-63°=53°，
∴构成三角形的各角度数分别为：63°、53°、64°．

点评 本题考查了等边三角形的性质和判定、旋转的性质、全等三角形的性质，明确旋转前后的两个三角形是全等形，并熟练掌握等边三角形的性质和判定．