Question

如图，四边形ABCD是正方形，点F在BC延长线上，且BF=BD，G为DF中点，BG与DC交于点E，以下结论正确的有

 

．
①△BCE≌△DCF        ②E是CD中点
③△BCE∽△DGE        ④2DG²=DE•DC．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：证明BG⊥DF，结合∠BCD=90°得到B、C、G、D四点共圆，得到∠FDC=∠EBC；容易证明①③成立；②不成立；证明△DGE∽△DCF，列出比例式即可证明④成立．

解答：解：∵BF=BD，G为DF中点，
∴BG⊥DF；
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD；
∴B、C、G、D四点共圆，
∴∠FDC=∠EBC；而∠BEC=∠DEG，
∴△BCE∽△DGE，故③正确．
在△BCE与△DCF中，

∠EBC=∠FDC BC=CD ∠BCE=∠DCF

，
∴△BCE≌△DCF（ASA），故①正确．
∵BF=BD，且BG⊥DF，
∴BG平分∠DBC，故②不正确．
∵∠GDE=∠CDF，∠DGE=∠DCF，
∴△DGE∽△DCF，
∴DG：DC=DE：DF，而DF=2DG，
∴2DG²=DE•DC．故④正确，
∴结论正确的有①③④．
故答案为①③④．

点评：该题以正方形为载体，主要考查了相似三角形的判定及其性质等几何知识点的应用问题；牢固掌握有关定理是灵活解决问题的基础和关键．