题目内容
直线l：y=-2x+2m（m＞0）与x，y轴分别交于A、B两点，点M是双曲线y=
（x＞0）上一点，分别连接MA、MB．
（1）如图，当点A（
，0）时，恰好AB=AM；∠M1AB=90°试求M1的坐标；
（2）如图，当m=3时，直线l与双曲线交于C、D两点，分别连接OC、OD，试求△OCD面积；
（3）如图，在双曲线上是否存在点M，使得以AB为直角边的△MAB与△AOB相似？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
| 4 |
| x |
（1）如图，当点A（
2
| ||
| 3 |
（2）如图，当m=3时，直线l与双曲线交于C、D两点，分别连接OC、OD，试求△OCD面积；
（3）如图，在双曲线上是否存在点M，使得以AB为直角边的△MAB与△AOB相似？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
考点：反比例函数综合题
专题：
分析：（1）把A的坐标代入直线的解析式即可求得m的值，然后证明△OAB≌△EMA，求得ME和AE的长，则M的坐标即可求解；
（2）解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，即可求得C和D的坐标，作DF⊥y轴于点F，CG⊥y轴，根据S△OCD=S梯形CDFG+S△OCG-S△ODF求解；
（3）需要分类讨论：以∠BAM和∠ABM为直角两种情况．以∠BAM为例进行解答：作MH⊥x轴于点H，根据△AOB∽△MAB求得AM的长，然后证明△AOB∽△MHA，根据相似三角形的性质求得AH和MH的长，进而求得M的坐标，然后判断M是否在反比例函数的图象上即可．
（2）解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，即可求得C和D的坐标，作DF⊥y轴于点F，CG⊥y轴，根据S△OCD=S梯形CDFG+S△OCG-S△ODF求解；
（3）需要分类讨论：以∠BAM和∠ABM为直角两种情况．以∠BAM为例进行解答：作MH⊥x轴于点H，根据△AOB∽△MAB求得AM的长，然后证明△AOB∽△MHA，根据相似三角形的性质求得AH和MH的长，进而求得M的坐标，然后判断M是否在反比例函数的图象上即可．
解答：
解：（1）把A（
，0）代入y=-2x+2m得：-
+2m=0，
解得：m=
．
则直线的解析式是：y=-2x+
，
令x=0，解得y=
，
则B的坐标是（0，
）．
作ME⊥x轴于点E．
∵∠BAM=90°，
∴∠BAO+∠MAE=90°，
又∵直角△AEM中，∠AME+∠MAE=90°，
∴∠BAO=∠AME．
在△OAB和△EMA中，
，
∴△OAB≌△EMA（AAS），
∴ME=OA=
，AE=OB=
．
∴OE=OA+AE=2
，
则M1的坐标是（2
，
）；
（2）当m=3时，一次函数的解析式是y=-2x+6．
解不等式组
，
解得：
或
，
则D的坐标是（1，4），C的坐标是（2，2）．
作DF⊥y轴于点F，CG⊥y轴，则F和G的坐标分别是（0，4），（0，2）．
则S△OCG=S△ODF=
×4=2，
S梯形CDFG=
（1+2）×（4-2）=3，
则S△OCD=S梯形CDFG+S△OCG-S△ODF=3；
（3）作MH⊥x轴于点H．
则△AOB、△ABM、△BMH都是两直角边的比是1：2的直角三角形．
当∠BAM=∠OAB=90°时，OM=m，OA=2m，得：
BH=
OA=m，MH=
OB=
m，
从而得到点M的坐标为（2m，
m）．
代入双曲线解析式为：2m=
m，
解得：m=2，则点M的坐标为（4，1）．
同理：当∠BAM=∠OBA时，点M的坐标为（
，
）．
综上所述，满足条件的点M的坐标是：（4，1）或（
，
）．
解：（1）把A（2
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
解得：m=
2
| ||
| 3 |
则直线的解析式是：y=-2x+
4
| ||
| 3 |
令x=0，解得y=
4
| ||
| 3 |
则B的坐标是（0，
4
| ||
| 3 |
作ME⊥x轴于点E．
∵∠BAM=90°，
∴∠BAO+∠MAE=90°，
又∵直角△AEM中，∠AME+∠MAE=90°，
∴∠BAO=∠AME．
在△OAB和△EMA中，
|
∴△OAB≌△EMA（AAS），
∴ME=OA=
2
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
∴OE=OA+AE=2
| 3 |
则M1的坐标是（2
| 3 |
2
| ||
| 3 |
（2）当m=3时，一次函数的解析式是y=-2x+6．
解不等式组
|
解得：
|
|
则D的坐标是（1，4），C的坐标是（2，2）．
作DF⊥y轴于点F，CG⊥y轴，则F和G的坐标分别是（0，4），（0，2）．
则S△OCG=S△ODF=
| 1 |
| 2 |
S梯形CDFG=
| 1 |
| 2 |
则S△OCD=S梯形CDFG+S△OCG-S△ODF=3；
（3）作MH⊥x轴于点H．
则△AOB、△ABM、△BMH都是两直角边的比是1：2的直角三角形．
当∠BAM=∠OAB=90°时，OM=m，OA=2m，得：
BH=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
从而得到点M的坐标为（2m，
| 1 |
| 2 |
代入双曲线解析式为：2m=
| 1 |
| 2 |
解得：m=2，则点M的坐标为（4，1）．
同理：当∠BAM=∠OBA时，点M的坐标为（
| 10 |
2
| ||
| 5 |
综上所述，满足条件的点M的坐标是：（4，1）或（
| 10 |
2
| ||
| 5 |
点评：本题是一次函数与反比例函数以及相似三角形的判定与性质的综合题，正确求得（3）中M的坐标是解决本题的关键．
练习册系列答案
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案
相关题目
如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，矩形BCDE的边DE与⊙O相切，BE=3，则矩形BCDE的面积是（ ）| A、18 | ||
| B、9 | ||
C、18
| ||
D、9
|
如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果⊙O的半径是4，线段OP的长为3，则点P（ ）
| A、在⊙O上 |
| B、在⊙O内 |
| C、在⊙O外 |
| D、在⊙O上或⊙O内 |
如图，四边形ABCD是正方形，点F在BC延长线上，且BF=BD，G为DF中点，BG与DC交于点E，以下结论正确的有
如图，在?ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F，点G，H分别为AD，BC的中点，试证明EF和GH互相平分．
联欢会上，墙上挂着两串礼物，A、B、C、D、E如图所示，每次从某一串的最下端摘下一个礼物，这样摘了五次可将五件礼物全部摘下，那么共有