Question

16．如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1．
（1）求B′点的坐标．
（2）以原点为对称中心，请写出与△A′OB′成中心对称的三角形的顶点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OA=2AB，再求出OB，根据旋转的性质可得OB′=OB，过点B′作B′C⊥x轴于C，求出∠COB′=60°，然后求出OC、B′C，再根据点的坐标的定义求解即可；
（2）根据旋转的性质可得OA′=OA，然后写出点A′的坐标，再根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求解．

解答 解：（1）∵∠AOB=30°，∠B=90°，
∴OA=2AB=2×1=2，
OB=$\sqrt{3}$AB=$\sqrt{3}$，
∵△AOB绕O点顺时针旋转90°得△A′OB′，
∴OB′=OB=$\sqrt{3}$，
过点B′作B′C⊥x轴于C，
则∠COB′=180°-30°-90°=60°，
∴OC=$\frac{1}{2}$OB′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
B′C=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$，
所以，点B′的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）；

（2）∵△AOB绕O点顺时针旋转90°得△A′OB′，
∴OA′=OA=2，
∴点A′的坐标为（0，2），
∴△A′OB′关于原点成中心对称的三角形的顶点坐标分别为（0，-2），（0，0），（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了坐标与图形的变化-旋转，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键在于作出以点B′为顶点的直角三角形．