Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米，点P从点B出发，沿BC以1厘米/秒的速度向点C移动，点Q从点C出发，沿折线CAB以2厘米/秒的速度向点B移动．问：
（1）经过多少秒后，PQ平分△ABC的面积；
（2）经过多少秒后，△CPQ为直角三角形．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用

专题：几何动点问题

分析：（1）可设经过x秒后，PQ平分△ABC的面积，根据速度×时间=路程和三角函数分别表示出△CPQ中PC边和PC边高的长度，再分两种情况：Q在AC边；Q在AB边；根据三角形面积公式即可求解；
（2）可设经过y秒后，△CPQ为直角三角形，根据速度×时间=路程分别表示出△CPQ中PC边和QC边，再根据三角函数分两种情况：∠PQC=90°；∠QPC=90°；即可求解．

解答：解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米，
∴AC=

62+82

=10厘米．
（1）设经过x秒后，PQ平分△ABC的面积，依题意有
Q在AC边：

1

2

（8-x）×（

1

2

×2x）=

1

2

×

1

2

×8×6，
化简得x²-8x+24=0，
∵△=8²-4×24=-32＜0，
∴方程无解；
Q在AB边：

1

2

（8-x）×（6+10-2x）=

1

2

×

1

2

×8×6，
解得x₁=8+2

3

（不合题意舍去），x₂=8-2

3

（不合题意舍去）．

（2）设经过y秒后，△CPQ为直角三角形，依题意有
当∠PQC=90°时，

3

2

×（8-y）=2y，解得y=

32 3 -24

13

；
当∠QPC=90°时，8-y=

3

2

×2y，解得y=4（

3

-1）．
综上所述，经过

32 3 -24

13

秒或4（

3

-1）秒后，△CPQ为直角三角形．

点评：本题考查了三角形的面积公式的运用，列一元二次方程解设计问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据三角形的面积公式建立方程是关键．