Question

20．如图，在矩形ABCD中，BC=2，M为对角线BD的中点，连接CM，以CM为直径作⊙O交BD于点E，连接AE，当直线AE与⊙O相切时，AB的长为$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图连接EC，作EN⊥AC于N，设OE=OM=OC=a，分别求出线段ME，EC，在RT△BEC中利用勾股定理求出a²，再在RT△ABC中求出线段AB即可．

解答 解：如图连接EC，作EN⊥AC于N，设OE=OM=OC=a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AM=MC═BM=DM=2a，
∵AE是⊙O的切线，
∴∠AEO=90°，
∴AE=$\sqrt{A{O}^{2}-E{O}^{2}}$=$\sqrt{（3a）^{2}-{a}^{2}}$=2$\sqrt{2}$a，
∵$\frac{1}{2}$•AE•EO=$\frac{1}{2}$•AO•EN，
∴EN=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$a，NO=$\sqrt{E{O}^{2}-E{N}^{2}}$=$\frac{1}{3}$a，
∴MN=$\frac{2}{3}$a，EM=$\sqrt{E{N}^{2}+M{N}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，EC=$\sqrt{E{N}^{2}+N{C}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$a，
在RT△BEC中，∵BE²+EC²=BC²，
∴（2a+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a）²+（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$a）²=2²，
∴a²=$\frac{3}{6+2\sqrt{3}}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{\frac{48}{6+2\sqrt{3}}-4}$=$\sqrt{\frac{4（3-\sqrt{3}）}{3+\sqrt{3}}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．
故答案为$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查切线的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设参数a，把相应的线段表示出来，利用勾股定理列出方程解决问题，题目比较难，计算半径复杂，掌握转化的思想，把问题转化为方程去思考．