Question

15．如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．
（1）求证：△CDP≌△POB；
（2）连接OD，当四边形BPDO是菱形时，求∠PBA的度数．

Answer 1

分析 （1）根据三角形中位线定理可得DP∥DB，DP=$\frac{1}{2}$AB，进而可得∠CPD=∠PBO，然后再证明BO=DP，可利用SAS判定：△CDP≌△POB；
（2）连接OD，根据全等可得DP=OB，再由AO=BO可得DP=AO=OB，再由DP∥OB可得四边形BPDO是平行四边形，然后再利用菱形的性质可得OB=BP，从而证明△PBO是等边三角形，进而可得答案．

解答 解：（1）∵点D是AC的中点，PC=PB，
∴DP∥DB，DP=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠CPD=∠PBO．
∵BO=$\frac{1}{2}$AB，
∴DP=OB，
在△CDP和△POB中$\left\{\begin{array}{l}{CP=PB}\\{∠PBO=∠CPD}\\{PD=OB}\end{array}\right.$，
∴△CDP≌△POB（SAS）；

（2）连接OD，
∵由（1）得DP=AO=OB，DP∥OB，
∴四边形BPDO是平行四边形，
∴当OB=BP时，四边形BPDO是菱形，
∵PO=BO，
∴△PBO是等边三角形，
∴∠PBA=60°．

点评 此题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握菱形邻边相等，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．