Question

14．如图，△ABC中，E是AC上一点，且AE=AB，∠EBC=$\frac{1}{2}$∠BAC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交EB于点F．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）连接BD，求∠ADB的度数；
（3）若AB=8，sin∠EBC=$\frac{1}{4}$，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）首先连接AF，由AB为直径，根据圆周角定理得∠AFB=90°，再根据等腰三角形的性质可得∠BAF=∠EBC，从而证得BC与⊙O相切；
（2）直接利用圆周角定理求解；
（3）首先过E作EG⊥BC于点G，由三角函数的性质可求得BF的长，易证得△CEG∽△CAB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 （1）证明：连接AF，如图，
∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，
∵AE=AB，
∴△ABE为等腰三角形，
∴∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAC．
∵∠EBC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BAF=∠EBC，
∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°，即∠ABC=90°．
∴AB⊥BC，
∴BC与⊙O相切；

（2）∵AB为直径，
∴∠ADB=90°；

（3）解：过E作EG⊥BC于点G，如图，
∵∠BAF=∠EBC，
∴sin∠BAF=sin∠EBC=$\frac{1}{4}$，
在Rt△AFB中，
∴BF=AB•sin∠BAF=8×$\frac{1}{4}$=2，
∴BE=2BF=4，
在Rt△EGB中，
∴EG=BE•sin∠EBC=4×$\frac{1}{4}$=1，
∵EG⊥BC，AB⊥BC，
∴EG∥AB，
∴△CEG∽△CAB，
∴CE：CA=EG：AB，即CE：（CE+8）=1：8，
∴CE=$\frac{8}{7}$，
∴AC=AE+CE=8+$\frac{8}{7}$=$\frac{64}{7}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了解直角三角形和利用相似比计算线段的长．