Question

11．已知关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+2k=0
（1）求证：不论k为何值，方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的两边的长度是该方程的两个根，第三边长度为3，求出此时△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）先计算△，化简得到△=（2k-1）²，易得△≥0，然后根据△的意义即可得到结论；
（2）利用因式分解法求出方程的两根x₁=2k，x₂=1，设a=3，b=2k，c=1，然后讨论：当a、b为腰；当b、c为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长．

解答 （1）证明：∵△=（4k+1）²-4•2k
=4k²+1+4k-8k
=4k²-4k+1
=（2k-1）²≥0，
∴无论k取何值，方程总有两个实数根；

（2）解：∵x²-（2k+1）x+2k=0，
∴（x-2k）（x-1）=0，
∴x₁=2k，x₂=1．
∵等腰△ABC的两边的长度是该方程的两个根，第三边长度为3，设a=3，b=2k，c=1，
当a、b为腰，则a=b=3，即2k=3，解得k=1.5，此时三角形的周长=3+3+1=7；
当b、c为腰时，b=c=1，此时b+c＜a，故此种情况不存在．
综上所述，△ABC的周长为7．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．