Question

16．在正方形ABCD中，点H在对角线BD上（与点B、D不重合），连接AH，将HA绕点H顺时针旋转90°与边CD（或CD延长线）交于点P，作HQ⊥BD交射线DC于点Q．
（1）如图1：
①依题意补全图1；
②判断DP与CQ的数量关系并加以证明；
（2）若正方形ABCD的边长为$\sqrt{3}$，当 DP=1时，试求∠PHQ的度数．

Answer 1

分析 （1）①由题意画出图形即可，②先由旋转得出∠AHP=90°，然后判断出∠QHP=AHD，再得出△QHP≌△DHA即可；
（2）分两种情况计算，先由三角函数求出∠APD=60°，再求出∠APH=45°，最后得到∠PHQ=60°即可．

解答 解：（1）①依题意，补全图形，如图1所示，

②DP=CQ，
∵HA绕点H顺时针旋转90°，与边CD（或CD延长线）相交于点P，
∴∠AHP=90°，
∴∠AHD+DHP=90°，
∵HQ⊥BD，
∴∠QHD=90°，
∴∠QHP+∠DHP=90°，
∴∠QHP=AHD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CDB=∠ADB=45°，AD=CD，
∴∠Q=∠CDB=∠ADB=45°，
∴△QHP≌△DHA，
∴AD=QP，
∴QP=CD，
∴OP-PC=CD-PC，
∴CQ=PD；
（2）①如图2，当点P在边CD上时，连接AP，

∵正方形的边长为$\sqrt{3}$，PD=1，∠ADP=90°，
∴tan∠APD=$\sqrt{3}$，
∴∠APD=60°，
∵HA=HP，∠AHP=90°，
∴∠APH=45°，
∴∠HPD=∠APH+∠APD=105°，
∵∠Q=45°，
∴∠PHQ=60°，
②如图3，当点P在边CD的延长线时，连接AP，

∴∠HPD=∠APD-∠APH=15°，
∵∠HQD=45°，
∴∠PHQ=120°，
∴∠PHQ的度数为120°或60°．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质和旋转的特征，全等三角形的判定和性质，同角或等角的余角相等，判断△QHP≌△DHA是解本题的关键，分两种情况是解本题的难点．