Question

18．如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点M，有下面三个结论：
①BD平分∠ABC；
②△ADM≌△BDM
③△BDM≌△BDC；
（1）判断其中正确的结论是哪几个？
（2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明．

Answer 1

分析 （1）求得∠ABD和∠ABC的度数即可判断BD是否平分∠ABC；根据HL可以判定△ADM≌△BDM；根据△BDM和△BDC的形状判断它们是否全等；
（2）若选择①进行证明，则需要求出∠ABD和∠ABC的度数．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵AB的垂直平分线交AC于点D，
∴DA=DB，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC，即BD平分∠ABC；
∵在Rt△ADM和Rt△BDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{DM=DM}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BDM（HL）；
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴△BCD是等腰锐角三角形，
∵△BDM是直角三角形，
∴△BCD与△BDM不全等．
故正确的结论是①和②；

（2）选择：①BD平分∠ABC．
证明∵AB=AC，∠A=36°
∴∠ABC=∠C=72°，
∵AB的垂直平分线交AC于点D，
∴DA=DB，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC，即BD平分∠ABC．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角．