Question

8．如图，已知四边形ABCD中，∠D=∠B=90°，AE平分∠DAB，CF平分∠DCB．
（1）求证：AE∥CF；
（证明过程己给出，请在下面的括号内填上适当的理由）
证明：∵∠DAB+∠DCB+∠D+∠B=360°（四边形内角和等于360°），
∴∠DAB+∠DCB=360°-（∠D+∠B）=180°（等式的性质）．
∵AB平分∠DAB，CF平分∠DCB （已知），
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠DAB，∠2=$\frac{1}{2}$∠DCB（角平分线定义），
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠DCB）=90°（等式的性质）．
∵∠3+∠2+∠B=180°（三角形内角和定理），
∴∠3+∠2=180°-∠B=90°，
∴∠1=∠3（同角的余角相等），
∴AE∥CF（同位角相等两直线平行）．
（2）若∠DAB=72°，求∠AEC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据四边形的内角和∠DAB+∠DCB+∠D+∠B=360°得到∠DAB+∠DCB=360°-（∠D+∠B）=180°，由于∠1=$\frac{1}{2}$∠DAB，∠2=$\frac{1}{2}$∠DCB，于是得到∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠DCB）=90°，根据三角形的内角和定理得到∠3+∠2=180°-∠B=90°，得到∠1=∠3，于是得到结论；
（2）根据∠DAB=72°，求得∠DCB=108°，于是得到∠2=∠DCF=54°，根据AE∥CF，即可得到结果．

解答 （1）证明：∵∠DAB+∠DCB+∠D+∠B=360°（ 四边形内角和等于360°），
∴∠DAB+∠DCB=360°-（∠D+∠B）=180°（等式的性质）．
∵AB平分∠DAB，CF平分∠DCB （已知），
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠DAB，∠2=$\frac{1}{2}$∠DCB（角平分线定义），
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠DCB）=90°（等式的性质）．
∵∠3+∠2+∠B=180°（三角形内角和定理），
∴∠3+∠2=180°-∠B=90°，
∴∠1=∠3（同角的余角相等），
∴AE∥CF（同位角相等两直线平行）．

（2）解：∵∠DAB=72°，
∴∠DCB=108°，
∴∠2=∠DCF=54°，
∵AE∥CF，
∴∠AEC+∠DCF=180°，
∴∠AEC=126°．
故答案为：四边形内角和等于360°，角平分线定义，同角的余角相等，同位角相等两直线平行．

点评 本题考查了四边形内角和等于360°，三角形的内角和等于180°，平行线的判定，熟练掌握各性质是解题的关键．