Question

1．如图，四边形ABCD中，AC、BD为对角线，AC=10，BC=6，∠ADB=∠ABD=∠ACB=30°，那么线段CD的长为10$\sqrt{3}$-6．

Answer 1

分析 根据已知条件得到∠ADB=∠ABD=∠ACB=30°，A，B，C，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠CAB=∠CDB，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，由∠ABE=∠ACB+∠CAB，∠ADC=∠CDB+∠ADB，求得∠ABE=∠ADC，即可证明△ADC≌△ABE，可得AC=AE=10，即可求证△ACE是等腰三角形，作AF⊥CE于F，则CF=EF，根据sin∠ACB的值可以求得AF的长，即可求得CF，BE的长，即可求得CD的长，即可解题．

解答 解：∵∠ADB=∠ABD=∠ACB=30°，
∴A，B，C，D四点共圆，AD=AB，
∴∠CAB=∠CDB，
延长CB到E，使BE=CD，连接AE，
∵∠ABE=∠ACB+∠CAB，∠ADC=∠CDB+∠ADB，
∴∠ABE=∠ADC，
∵在△ADC和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ADC=∠ABE}\\{CD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴AC=AE=10，
∴△ACE是等腰三角形，
作AF⊥CE于F，则CF=EF，
∵∠ACB=30°，
∴AF=$\frac{1}{2}$AC=5，EF=CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=5$\sqrt{3}$，
∴CE=10$\sqrt{3}$，
∴CD=BE=CE-CB=10$\sqrt{3}$-6．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，四点共圆，解直角三角形，求证△ADC≌△ABE是解题的关键．