Question

1．已知二次函数y=a（x+m）²+k的图象经过点（0，-1），且其顶点坐标为（1，2）
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）判断点（3，-9）是否在这个函数的图象上；
（3）若点A（100，y₁），B（101，y₂）是该函数图象上的两点，试比较y₁与y₂大小；
（4）如果要通过适当的平移，使得这个函数的图象与x轴只有一个公共点，那么应该怎样平移？

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为：y=a（x-1）²+2，再把（0，-1）代入，求出a的值，即可得出二次函数的解析式．
（2）代入（3，-9）即可判断；
（3）根据函数的性质即可判断；
（4）根据顶点坐标和开口方向即可得出平移的方向和大小．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²+2，
把（0，-1）代入解析式得a+2=-1，解得a=-3
则抛物线的解析式为：y=-3（x-1）²+2．
（2）把x=3代入y=-3（x-1）²+2得y=-10≠-9，
所以，点（3，-9）不在这个函数的图象上；
（3）∵二次函数的图象的对称轴为x=1，a=-3＜0，
∴在对称轴的右侧y随x的增大二减小，
∵101＞100＞1，
∴y₁＞y₂；
（4）∵顶点坐标为（1，2），开口向下，
要使函数的图象与x轴只有一个公共点，则顶点的纵坐标为0，
∴平移后的顶点为（1，0），
∴向下平移2个单位，使得这个函数的图象与x轴只有一个公共点．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及图象与几何变换．