Question

13．对于正数x，规定f（x）=$\frac{1}{1+x}$，例如f（4）=$\frac{1}{1+4}$=$\frac{1}{5}$，f（2013）+f（2012）+…+f（2）+f（1）+f（$\frac{1}{2}$）+…f（$\frac{1}{2012}$）+f（$\frac{1}{2013}$）=2012$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据f（x）=$\frac{1}{1+x}$，可以把f（2013）+f（2012）+…+f（2）+f（1）+f（$\frac{1}{2}$）+…f（$\frac{1}{2012}$）+f（$\frac{1}{2013}$）展开然后合并即可解答本题．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{1+x}$，
∴f（2013）+f（2012）+…+f（2）+f（1）+f（$\frac{1}{2}$）+…f（$\frac{1}{2012}$）+f（$\frac{1}{2013}$）
=$\frac{1}{1+2013}+\frac{1}{1+2012}+…+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+1}$$+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{3}}+…+\frac{1}{1+\frac{1}{2012}}+\frac{1}{1+\frac{1}{2013}}$，
=$\frac{1}{1+2013}+\frac{1}{1+2012}+…+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+1}$+$\frac{2}{1+2}+\frac{3}{1+3}+…+\frac{2012}{1+2012}+\frac{2013}{1+2013}$
=$（\frac{1}{1+2013}+\frac{2013}{1+2013}）+（\frac{1}{1+2012}+\frac{2012}{1+2012}）+…+（\frac{1}{1+2}+\frac{2}{1+2}）+\frac{1}{1+1}$
=1+1+…+1+$\frac{1}{2}$
=2013-1+$\frac{1}{2}$
=2012$\frac{1}{2}$，
故答案为：2012$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确新定义，可以根据新定义将式子展开，观察式子的特点，计算出式子的结果．