Question

11．已知：如图，抛物线y₁=a（x-h） ²+k与直线y₂=k′x+b分别交于x轴和y轴上的点A（-3，0）和点C（0，3），已知抛物线的对称轴为直线x=-2．
（1）请写出点B的坐标，并求抛物线的解析式；
（2）观察图象，请分别写出符合下列条件的结论：
①当y₁＜y₂时x的取值范围；
②在平面内以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，写出点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的对称性即可求得点B的坐标，把点A、C的坐标代入抛物线y₁=a（x+2）²+k，利用方程组来求系数a、k的值；
（2）①根据函数的图象即可求得；
②根据平行四边形的性质即可求得．

解答 解：（1）根据题意得抛物线y₁=a（x+2）²+k，
∵抛物线y₁=a（x+2）²+k与直线y₂=k′x+b分别交于x轴和y轴上的点A（-3，0）和点C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=a+k}\\{3=4a+k}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{k=-1}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为y₁=（x+2）²-1，
∵点A（-3，0），抛物线的对称轴为直线x=-2，
∴B（-1，0）．

（2）①由图象可知当-4＜x＜0时，y₁＜y₂；
②∵AB=-1-（-3）=2，
∴D（-2，3）或（2，3）或（-4，-3）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了抛物线的对称性，待定系数法求解析式，函数的图象和不等式的关系，平行四边形的性质等，熟练掌握二次函数的性质，以及平行四边形的性质是解题的关键．