Question

6．如图，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，且D、E分别是AB、AC的中点．延长BC至点F，使CF=CE．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：BE=FE；
（3）若AB=2，求△CEF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的判定得出△ABC是等边三角形，即可得出∠ABC的度数；
（2）根据BE=FE得出∠F=∠CEF=30°，再等边三角形的性质得出∠EBC=30°，即可证明；
（3）过E点作EG⊥BC，根据三角形面积解答即可．

解答 解：（1）∵BE⊥AC于E，E是AC的中点，
∴△ABC是等腰三角形，即AB=BC，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°；
（2）∵CF=CE，
∴∠F=∠CEF，
∵∠ACB=60°=∠F+∠CEF，
∴∠F=30°，
∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，
∴∠EBC=30°，
∴∠F=∠EBC，
∴BE=EF；
（3）过E点作EG⊥BC，如图：
∵BE⊥AC，∠EBC=30°，AB=BC=2，
∴BE=$\sqrt{3}$，CE=1=CF，
在△BEC中，EG=$\frac{CE•BE}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${S}_{△ECF}=\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 此题考查了等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．