Question

17．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 可在BA的延长线上取一点E，使AE=AC，得出△ACP≌△AEP，从而将四条不同的线段转化到一个三角形中进行求解，即可得出结论．

解答 解：PB+PC＞AB+AC．
如图，在BA的延长线上取一点E，使AE=AC，连接EP，
由AD是∠BAC的外角平分线，可知∠CAP=∠EAP，
又AP是公共边，AE=AC，
在△ACP与△AEP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAP=∠CAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△AEP（SAS），
从而有PC=PE，在△BPE中，PB+PE＞BE，
而BE=AB+AE=AB+AC，
故PB+PE＞AB+AC，
所以PB+PC＞AB+AC．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形三边关系的问题，做出恰当的辅助线是解答此题的关键．