Question

5．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点M，矩形MNPQ与矩形ABCD全等，射线MN与MQ分别交BC边于E、F两点，若AB=2，求证：$\frac{1}{M{E}^{2}}$+$\frac{1}{M{F}^{2}}$=1．

Answer 1

分析 $\frac{1}{M{E}^{2}}$+$\frac{1}{M{F}^{2}}$=1等价于$\frac{M{E}^{2}+M{F}^{2}}{M{E}^{2}•M{F}^{2}}$，而EM²+FM²=EF²，从而等价于$\frac{E{F}^{2}}{M{E}^{2}•M{F}^{2}}$，注意到∠EMF为直角，于是作MG⊥BC于G，则EM•FM=EF•EG，进而
EM²•FM²=EF²•EG²，而EG=$\frac{1}{2}$AB=1，结论水落石出．

解答 证明：过点M作MG⊥BC于G，如图，

∵ABCD是于矩形，AC交BD于M，
∴M是AC和BD的中点，
∴MG=$\frac{1}{2}$AB=1，
∵MNPQ为矩形，
∴∠EMF=90°，
∴EM•FM=EF•EG，
∴EM²•FM²=EF²•EG²，
∵EM²+FM²=EF²，
∴$\frac{1}{E{M}^{2}}+\frac{1}{F{M}^{2}}=\frac{E{M}^{2}+F{M}^{2}}{E{M}^{2}•F{M}^{2}}=\frac{E{F}^{2}}{E{M}^{2}•F{M}^{2}}$=$\frac{E{F}^{2}}{E{F}^{2}•E{G}^{2}}=\frac{1}{E{G}^{2}}=1$．

点评 本题主要考查了矩形的基本性质、勾股定理、中位线、等积变换等知识点，难度较大，是一道几何妙题．从结论出发结合条件不断地进行等价变形是解决本题的难度点和关键所在．