Question

10．已知抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．顶点为点C．
（1）求直线AC的解析式；
（2）试问在抛物线的对称轴上是否存在一个定点，使得过该定点的任意一条直线与抛物线有两个交点时，这两个交点与抛物线顶点的连线互相垂直？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求得A、B和C的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线AC的解析式；
（2）可设D（0，c），过D的直线与抛物线交于E、F两点，分别设出E、F的坐标，可表示出直线CE、CF的斜率，根据两直线垂直，结合一元二次方程根与系数的关系可得到关于c的方程，可求得c的值．

解答 解：（1）在y=$\frac{1}{4}$x²-4中，令y=0，则$\frac{1}{4}$x²-4=0，解得：x₁=-4，x₂=4，
∴A（-4，0），B（4，0），
C（0，-4），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A、C两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{0=-4k+b}\\{-4=b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-x-4；
（2）∵抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-4的对称轴是y轴，
∴设定点D（0，c），过点D的直线为y=ax+c，
设过D的直线与抛物线交于E、F两点，设E（x_E，y_E），F（x_F，y_F）
则y_E=$\frac{1}{4}$${x}_{E}^{2}$-4，y_F=$\frac{1}{4}$${x}_{F}^{2}$-4，
∵C（0，-4），
∴k_CE=$\frac{{y}_{E}+4}{{x}_{E}}$=$\frac{\frac{1}{4}{x}_{E}^{2}}{{x}_{E}}$=$\frac{1}{4}$x_E，k_CF=$\frac{{y}_{F}+4}{{x}_{F}}$=$\frac{\frac{1}{4}{x}_{F}^{2}}{{x}_{F}}$=$\frac{1}{4}$x_F，
∵直线CE、CF互相垂直，
∴k_CE•k_CF=-1，即$\frac{1}{4}$x_E•$\frac{1}{4}$x_F=-1，
∴x_E•x_F=-16，
联立过D的直线和抛物线解析式$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+c}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-4}\end{array}\right.$，消去y可得$\frac{1}{4}$x²-ax-4-c=0，
由题意可知x_E和x_F是该方程的两根，
∴x_E•x_F=$\frac{-4-c}{\frac{1}{4}}$=-16-4c，
∴-16-4c=-16，解得c=0，
∴D点坐标为（0，0），
即存在满足条件的D点．

点评 本题主要考查二次函数与x轴的交点问题，在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中由直线相互垂直得关于D点坐标的方程是解题的关键．