Question

1．如图，△ABC是等边三角形，点E为△ABC，∠AEC=30°，AE=3，CE=4，则BE=5．

Answer 1

分析 如图将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CD，连接ED，则△CDE是等边三角形．先证明△ACD≌△BCE，得到AD=BE，在Rt△ADE中，由勾股定理，
可得AD=$\sqrt{A{E}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．

解答 解：如图将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CD，连接ED，则△CDE是等边三角形．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
由旋转的性质可得：
CE=CD，∠DCE=60°，
∴∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACE≌△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
∵△DCE是等边三角形，
∴∠CDE=60°，DC=DE=4，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADC+∠CDE=90°，
∴∠AED=90°，∵AE=3，ED=4，
在Rt△ADE中，由勾股定理，
可得AD=$\sqrt{A{E}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴BE=AD=5．
故答案为5．

点评 本题主要考查旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用，解题的关键是利用旋转的方法添加辅助线，构造全等三角形以及直角三角形解决问题，属于中考常考题型．