Question

15．已知：如图所示，点P为∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP=180°，求证：OA+OB=2OC．

Answer 1

分析 作PD⊥OB于D，根据角平分线的性质就可以得出PC=PD，根据HL可以判断△PCO≌PDO，从而可得OC=OD，然后根据AAS就可以得出△ACP≌△BDP，从而得到AC=BD，进而得出AO+OB=2OC．

解答 证明：作PD⊥OB于D．
∴∠PDO=90°．
∵P为∠AOB的平分线OP上一点，PC⊥OA
∴PC=PD．∠PCA=90°．
∴∠PCA=∠PDO．
在Rt△PCO和Rt△PDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{PO=PO}\\{PC=PD}\end{array}\right.$
∴Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），
∴OC=OD．
∵∠OBP+∠DBP=180°，且∠0AP+∠0BP=180°，
∴∠OAP=∠DBP．
在△ACP和△BDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCA=∠PDO}\\{∠OAP=∠DBP}\\{PC=PD}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△BDP（AAS），
∴AC=BD．
∵AO+BO=AC+CO+BO，
∴AO+BO=BD+BO+CO，
∴AO+BO=DO+CO，
∴AO+BO=2CO，

点评 本题考查了角平分线的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．