Question

6．如图，点C是⊙O上一点，⊙O的半径为$2\sqrt{2}$，D、E分别是弦AC、BC上一动点，且OD=OE=$\sqrt{2}$，则AB的最大值为（　　）

• A． $2\sqrt{6}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． $4\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先判断出OD⊥AC、OE⊥BC时∠ACB最大，从而得到AB最大，连接OC，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠ACO=30°，再根据垂径定理和勾股定理求出AC，然后求出∠ACB=60°，再求出AC=BC，从而得到△ABC是等边三角形，最后根据等边三角形的性质可得AB=AC．

解答 解：如图，当OD⊥AC、OE⊥BC时∠ACB最大，AB最大，
连接OC，
∵⊙O的半径为2$\sqrt{2}$，OD=$\sqrt{2}$，
∴∠ACO=30°，
∴AC=2CD=2$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=2$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
同理可得∠BCO=30°，
∴∠ACB=60°，
∵OD=OE，OD⊥AC、OE⊥BC，
∴AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=2$\sqrt{6}$，
即AB的最大值为2$\sqrt{6}$．
故选A．

点评 本题考查了垂径定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握圆的性质并判断出AB取得最大值的情况是解题的关键．