(1)一个正整数如果能表示为若干个正整数平方的算术平均值.就称这个正整数为“好整数 .如4=$\frac{{2}^{2}+{2}^{2}}{2}$.2007=$\frac{{2}^{2}+1{2}^{2}+2{2}^{2}+8{6}^{2}}{4}$.2008=$\frac{3{2}^{2}+5{0}^{2}+5{0}^{2}}{3}$.4.2007.2008都是“好整数 .� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．（1）一个正整数如果能表示为若干个正整数平方的算术平均值，就称这个正整数为“好整数”，如4=$\frac{{2}^{2}+{2}^{2}}{2}$，2007=$\frac{{2}^{2}+1{2}^{2}+2{2}^{2}+8{6}^{2}}{4}$，2008=$\frac{3{2}^{2}+5{0}^{2}+5{0}^{2}}{3}$，4，2007，2008都是“好整数”，记“好整数”的集合为M，正整数的集合为N⁺，求证：M=N⁺．
（2）记a=1²+2²+3²+…+2012²+2013²，求证：a可以写成2012个不同的正整数的平方和．

分析（1）首先根据“好整数”定义得出M⊆N⁺；另一方面，对每个n∈N⁺，都有n=$\frac{{n}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}+…+{1}^{2}}{n+1}$，得出n是“好整数”，即n∈M，即可得出结论；
（2）根据勾股定理得出1500²+2000²=2500²，因此从a中去掉1500²和2000²，添加2500²，即可得出结论．

解答（1）证明：因为每个“好整数”都是正整数，所以M⊆N⁺；
另一方面，对每个n∈N⁺，都有n=$\frac{{n}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}+…+{1}^{2}}{n+1}$，
所以n是“好整数”，即n∈M，
所以N⁺⊆M，
因此M=N⁺；
（2）证明：只需从1²至2013²中去掉两个，
根据勾股定理，换上一个大于2013²的数，
∵2000²=4²×500²，3²+4²=5²，
∴3²×500²+4²×500²=5²×500²，
即1500²+2000²=2500²，
因此从a中去掉1500²和2000²，添加2500²，
即将a写成了2012个不同的正整数的平方和．