Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2+

3

，0），以OA为边长在第一象限内作等边△OAB，将△OAB沿CD折叠，使点B落在边OA上的点B′（x，0）．
（1）设△OB′C的周长为l，求l关于x的函数关系式；
（2）当B′C∥y轴时，求点C的坐标；
（3）当B′在OA上运动但不与O、A重合时，能否使△CB′D 成为直角三角形？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据折叠的性质可知BC=B′C，那么三角形OB′C的周长就等于OB′+OB，已知等边三角形OBA的边长，那么就可以表示出l与x的函数关系式．
（2）当B′C∥y轴时，CB′⊥x轴，那么本题的关键就是求出直角三角形OB′C的两条直角边，可根据OC+CB′=2+

3

，而我们还可以通过∠COB′的正弦函数得出OC，CB′的比例关系，然后根据这两个关系可得出OC，B′C的长，进而可求出OB′的长．也就得出了C点的坐标．
（3）要想使三角形CB′D是直角三角形，已知∠CB′D=60°，那么只有∠B′CD和∠B′DC为直角，当∠B′CD是直角时，那么∠BCD也是直角，那么B，E，B′在一条直线上，B′与O重合，那么与已知矛盾，因此不成立，同理可得出∠B′DC是直角的情况下也不成立，因此△CB′D不可能是直角三角形．

解答：解：（1）∵B′和B关于CD对称，
∴B′C=BC，
∴l=OB′+B′C+OC=OB′+BC+OC=x+OB=x+2+

3

．

（2）当B′C∥y轴时，∠CB′O=90°．
∵△OAB为等边三角形，
∴∠COB′=60°，OB′=

1

2

CO．
设OB′=a，则OC=2a．
在Rt△OCB′中，tan∠COB′=

B′C

B′O

，
∴B′C=B′Otan∠COB′=

3

a；
∵B′C+OC=BC+OC=2+

3

，
∴a=1，
∴C（1，

3

）．

（3）答：不能．
理由如下：
∵∠CB′D=∠B=60°，
∴要使△CB′D成为直角三角形，则90°角只能是∠B′CD或∠B′DC．
假设∠B′CD=90°，
∵△DB′C与△DBC关于DC对称，
∴∠BCD=∠B′CD=90°，
∴∠BCB′=180°，
则B′、C、B三点在同一直线上，B′与O重合．
这与题设矛盾．
∴∠B′CD≠90°．
即△CB′D不能为直角三角形．
同理，∠B′DC=90°也不成立．
∴△CB′D不能成为直角三角形．

点评：本题主要考查了一次函数综合题，涉及了折叠的性质，等边三角形的性质等知识点，根据折叠的性质得出线段和角相等是解题的关键．