Question

如图，点A在y轴上，点B在x轴上，以AB为边作正方形ABCD，P为正方形ABCD的对称中心，正方形ABCD的边长为

10

，tan∠ABO=3．直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从原点O出发沿OM方向以

2

个单位每秒速度运动，设运动时间为t秒．
（1）分别写出A，C，P三点的坐标；
（2）经过坐标原点O且顶点为P的抛物线是否经过C点，请说明理由？
（3）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？
（4）设△HCR面积为S，求S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）过点D作DF⊥y轴于点F，作CE⊥x轴于点E，连接AC，由tan∠ABO=3可知OA：OB=3，设OA=3x，则OB=x，再根据正方形ABCD的边长为

10

利用勾股定理可求出OA及OB的长，由全等三角形的判定定理可得出△AOB≌△BEC≌△DFA，故可得出CD的坐标，利用中点坐标公式即可得出P点坐标；
（2）设经过坐标原点O且顶点为P的抛物线是y=a（x-h）²+k，由（1）可知C点的坐标，把其坐标代入抛物线的解析式检验即可；
（3）过点N作NE⊥AO，于点E，过点A作AF⊥MS于点F，MS⊥x轴于点S，求出M、N两点坐标，再分∠DRM=45°和∠MDR=45°两种情况进行讨论；
（4）由R速度为

2

，H速度为1，且∠ROH=45°，可知tan∠ROH=1，故RH始终垂直于x轴，RH=OH=t，设△HCR的边RH的高为h，h=|4-t|，再由三角形的面积公式即可得出结论；分情况进行讨论，顶边和底边分别为BC、AR，此时BC∥AR，结合已知和已证求出R点的坐标，求出t即可；顶边、底边分别为CR、AB，此时CR∥AB，结合已知和已证求出R点的坐标，求出t即可．

解答：解：（1）如图1，过点D作DF⊥y轴于点F，作CE⊥x轴于点E，连接AC，
∵tan∠ABO=3，
∴OA：OB=3，
∴设OA=3x，则OB=x，
∵正方形ABCD的边长为

10

，
∴△AOB中，OA²+OB²=AB²，即9x²+x²=（

10

）²，
解得x=1，
∴OA=3，OB=1，
∴A（0，3），
∵∠OAB+∠ABO=90°，∠ABO+∠CBE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠OAB=∠CBE，∠ABO=∠BCE，
在△AOB与△BEC中，

∠OAB=∠CBE AB=BC ∠ABO=∠BCE

，
∴△AOB≌△BEC（SAS），
同理可得，△AOB≌△BEC≌△DFA，
∴BE=DE=3，CE=AF=1，
∴C（4，1），D（3，4），
∵P为正方形ABCD的对称中心，
∴P是AC的中点，
∴P（

0+4

2

，

3+1

2

），即（2，2），
故A（0，3），C（4，1）P（2，2）；
（2）经过坐标原点O且顶点为P的抛物线不过C点，
理由如下：
设经过坐标原点O且顶点为P的抛物线是y=a（x-h）²+k，
∵P（2，2），
∴y=a（x-2）²+2，
∴0=a（0-2）²+2，
解得：a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

（x-2）²+2，
∵C（4，1），
∴当x=4时，y=0≠1，
∴经过坐标原点O且顶点为P的抛物线不经过C点；
（3）
如图2，过点N作NE⊥AO于点E，过点A作AF⊥MS于点F，MS⊥x轴于点S，
由（1）可得：B（1，0），
∴直线AB的解析式为：y=-3x+3①；
直线OP的解析式为：y=x②，
①②联立得

y=-3x+3 y=x

，
解得

x= 3 4 y= 3 4

，
直线CD的解析式是：y=-3x+13，
解方程组：

y=-3x+13 y=x

，
解得

x= 13 4 y= 13 4

得：则M的坐标是：（

13

4

，

13

4

），
∴ON=

3 2

4

，OM=

13 2

4

，
∵AD²+DM²=AF²+MF²，即10+MD²=（

13

4

）²+（

1

4

）²，
∴DM=

10

4

，AN=

3 10

4

，
当∠MDR=45°时，
∵∠AON=45°，
∴∠MDR=∠AON，
∵AN∥DM，
∴∠ANO=∠DMP，
∴△ANO与△DMR相似，则△ANO∽△RMD，
∴

MR

DM

=

AN

NO

，即

MR

10 4

=

3 10 4

3 2 4

，解得MR=

5 2

4

，
则OR=OM-MR=2

2

，
故t=2，
同理可得：当∠DRM=45°时，t=3，△ANO与△DMR相似，
综上可知：t=2或3时当△ANO与△DMR相似；

（4）∵R速度为

10

，H速度为1，且∠ROH=45°，
∴tan∠ROH=1，
∴RH始终垂直于x轴，
∴RH=OH=t，
设△HCR的边RH的高为h，
∴h=|4-t|．
∴S_△HCR=h•t•

1

2

=|-t²+4t|•

1

2

，
∴S=

1

2

-t²+2t（0＜t＜4）
或S=t²-2t（t＞4）；
故S=-

1

2

t²+2t（0＜t≤4）或S=

1

2

t²-2t（t＞4）；
以A、B、C、R为顶点的梯形，有三种可能：
①顶边和底边分别为BC、AR，此时BC∥AR．如图3，延长AD，使其与OM相交于点R，
则AD的斜率=tan∠BAO=

1

3

则直线AD为：y=

x

3

+3．
则R坐标为（4.5，4.5），
则此时四边形ABCR为直角梯形，
则t=4.5；
②顶边、底边分别为CR、AB，此时CR∥AB，且R与M重合．
则CD的斜率=-3，且直线CD过点C，
则直线CD为：y-1=-3•（x-4），
则y=-3x+13，
∵OM与CD交于点M（即R），
∴M为（

13

4

，

13

4

）
∴此时四边形ABCR为梯形，
∴t=

13

4

，
③求AC，BR的解析式，进而求出R坐标（

1

3

，

1

3

）求出t=

1

3

．
综上所述，t=4.5或t=

13

4

或t=

1

3

．

点评：本题考查相似三角形的判定和性质，涉及到全等三角形的判定和性质、二次函数的最值，正方形的性质及梯形的判定定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．