Question

在△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC=2，点P是同一平面内的一个动点，且满足∠BPC=90°，连接AP，线段AP的最小值和最大值分别是多少？

Answer 1

考点：点与圆的位置关系,等腰直角三角形

专题：

分析：由于∠BPC=90°，所以点P在以BC为直径的圆O上．以BC为直径作圆O，连结AO交圆于两点，则AP₁最小，AP₂最大．

解答：解：如图，以BC为直径作圆O，连结AO交圆于两点P₁，P₂，则AP₁最小，AP₂最大．
∵AP₁•AP₂=AC²，AC=2，P₁P₂=2，
∴AP₁（AP₁+2）=4，
解得AP₁=-1±

5

（负值舍去），
∴AP₂=-1+

5

+2=1+

5

．
故线段AP的最小值和最大值分别是-1+

5

和1+

5

．

点评：本题考查了圆周角定理，点与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，切割线定理，有一定难度．确定P点位置是解题的关键．