Question

正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P在DB所在的直线上，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．

（1）如图1，当点P与点O重合时，延长FP交AB于点M，求证：AP=EF；
（2）如图2，当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时，延长FP交AB于点M，求证：AP=EF；
（3）如图3，当点P在DB的延长线上时，请你猜想AP与EF的数量关系及位置关系，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据正方形的性质，可得AP与BD的关系，再根据三角形的中位线的性质，可得EF与BD的关系，可得答案；
（2）根据正方形的性质，可得PM与PE的关系，根据SAS，可得△AMP与△FPE的关系，根据全等三角形的性质，可得证明结果；
（3）根据全等三角形的判定与性质，可得答案．

解答：
（1）证明：如图1，连接AC，AC交BD于O点，O与P重合，
∴PA=

1

2

AC=

1

2

BD，
PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，
∴OE、OF是△BCD的中位线，
点E、F分别是BC、CD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF=

1

2

BD，
∴EF=AP．

（2）证明：如图2，∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，∠MPB=∠PBE=45°，
∴四边形MBEP是正方形，

∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；
又∵AB-BM=AM，BC-BE=EC=PF，
且AB=BC，BM=BE，
∴AM=PF，
在△AMP和△FPE中，

AM=FP ∠AMP=∠FPE PM=PE

∴△AMP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF；

（3）解：如图：AP=EF，且AP⊥EF．

点评：本题考查了正方形的性质，（1）正方形的性质得出AO与BD的关系，三角形的中位线得出EF与BD的关系，（2）由正方形的性质得出三角形全等的条件，再由三角形全等得出对应边相等得出证明的结论．