Question

将抛物线y=

1

3

x²沿x轴作左右平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P．抛物线C与y轴交于点E，与直线y=

3

3

x+3交于两点，其中一个交点为F．当线段EF平行x轴．求平移后的抛物线C对应的函数关系式．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：

分析：设平移距离为a，分向右平移和向左平移两种情况利用二次函数的对称性表示点F的坐标，然后代入直线解析式求出函数值，再求出平移后的抛物线与y轴的交点，然后列出方程求解即可．

解答：解：设平移距离为a，若向右平移，则抛物线解析式为y=

1

3

（x-a）²，
点F的横坐标为2a，
∵线段EF平行x轴，
∴点E、F的纵坐标相等，
∴

1

3

（0-a）²=

3

3

×2a+3，
整理得，x²-2

3

a-9=0，
解得a₁=3

3

，a₂=-

3

（舍去），
∴平移后的抛物线C对应的函数关系式为y=

1

3

（x-3

3

）²，
若向左平移，则抛物线解析式为y=

1

3

（x+a）²，
点F的横坐标为-2a，
∵线段EF平行x轴，
∴点E、F的纵坐标相等，
∴

1

3

（0-a）²=

3

3

×（-2a）+3，
整理得，x²+2

3

a-9=0，
解得a₁=-3

3

（舍去），a₂=

3

，
∴平移后的抛物线C对应的函数关系式为y=

1

3

（x+

3

）²，
综上所述，平移后的抛物线C对应的函数关系式为y=

1

3

（x-3

3

）²或y=

1

3

（x+

3

）²．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，根据EF与x轴平行得到点E、F的纵坐标相等是解题的关键，利用顶点的变化确定抛物线解析式的变化求解更简便．