Question

在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC交AC于D，如图，CP垂直BD，垂足为P，AQ垂直BP，Q为垂足．M是AC中点，E是BC中点．若△PQM的外接圆O与AC的另一个交点为H，求证：O、H、E、M四点共圆．

Answer 1

考点：四点共圆

专题：证明题

分析：延长AQ交BC于N，由于AQ⊥BP，BD平分∠ABC，根据等腰三角形三线合一得到BQ平分AN，即AQ=NQ，易得QM为△ANC的中位线，则QM∥BC，所以∠PQM=∠PBC=

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∠ABC，同理得EM∥AB，连结PE，PE为Rt△BPC斜边上的中线，所以EB=EP=EC，则∠EBP=∠EPB，而∠EBP=∠ABP，则∠ABP=∠EBP，得到PE∥AB，
于是可判断点P、M、E共线，则∠MPQ=∠PBC=

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∠ABC，∠MPQ=∠MQP=

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∠ABC；连结HE，BH，OH，OM，OP，根据圆周角定理得∠PHM=∠PQM，则∠PHM=∠PBC，根据四点共圆的判定方法得到P、H、B、C四点共圆，再根据圆周角定理得∠BHC=∠BPC=90°，利用EH为Rt△BHC斜边上的中线得EH=EC=BE，所以EH=EP，则∠EHP=∠EPH，利用∠OHP=∠OPH得到∠EHO=∠EPO，而∠OPM=∠OMP，所以∠EHO=∠OMP，原式根据四点共圆的判定方法得到O、H、E、M四点共圆．

解答：证明：延长AQ交BC于N，如图，
∵AQ⊥BP，BD平分∠ABC，
∴△ABN为等腰三角形，
∴BQ平分AN，
∴AQ=NQ，
∵又M为AC中点，
∴QM∥BC，
∴∠PQM=∠PBC=

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∠ABC，
∵E点为BC的中点，M为AC的中点，
∴EM∥AB，
连结PE，
∵PC⊥BP，
∴∠BPC=90°，
∴PE为Rt△BPC斜边上的中线，
∴EB=EP=EC，
∴∠EBP=∠EPB，
而∠EBP=∠ABP，
∴∠ABP=∠EBP，
∴PE∥AB，
∴点P、M、E共线，
∴∠MPQ=∠PBC=

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∠ABC，
∴∠MPQ=∠MQP=∠PBC，
连结HE，BH，OH，OM，OP，如图，
∵∠PHM=∠PQM，
∴∠PHM=∠PBC，
∴P、H、B、C四点共圆，
∴∠BHC=∠BPC=90°，
∴EH为Rt△BHC斜边上的中线，
∴EH=EC=BE，
∴EH=EP，
∴∠EHP=∠EPH，
∵OH=OP，
∴∠OHP=∠OPH，
∴∠EHO=∠EPO，
∵∠OPM=∠OMP，
∴∠EHO=∠OMP，
O、H、E、M四点共圆．

点评：本题考查了四点共圆：若线段同侧二点到线段两端点的连线的夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆；若四点连成四边形的对角互补或一个外角等于内对角，那么这四点共圆；也考查了等腰三角形的判定与性质、三角形中位线性质、直角三角形斜边上的中线性质以及圆周角定理．