Question

如图，已知等腰Rt△ABC的面积是1，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAE=30°，AC与DE相交于点F，则△ADF的面积为（　　）

• A、

  3 +1

  4

• B、

  3 -1

  4

• C、

  2 +1

  4

• D、

  2 -1

  4

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积求得AC=BC=

2

，则AB=2．然后由相似三角形的对应角相等证得∠CAB=∠CBA=∠EDA=∠EAD=45°；过F作FG⊥AD，设DG=x，则DG=FG=x，易求AG=

3

AG=

3

x，FG=x=

1

3 +1

=

3 -1

2

，故S_△ADF=

1

2

AD•FG=

1

2

×1×

3 -1

2

=

3 -1

4

．

解答：解：∵△ABC是等腰直角三角形，且其面积是1，
∴

1

2

AC•BC=

1

2

AC²=1
∴AC=BC=

2

，
∴AB=

2

AC=2．
又∵AB=2AD，
∴AD=1．
又∵△ABC∽△ADE，
∴∠CAB=∠CBA=∠EDA=∠EAD=45°．
如图，过F作FG⊥AD，设DG=x，则DG=FG=x，
又∵∠BAE=30°
∴∠DAF=30°
∴AG=

3

AG=

3

x
∴AD=AG+DG=（

3

+1）x=1
∴FG=x=

1

3 +1

=

3 -1

2

，
∴S_△ADF=

1

2

AD•FG=

1

2

×1×

3 -1

2

=

3 -1

4

．
故选：B．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形．解题的关键是求得FG的长度．